Степень числа: определения, обозначение, примеры

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите -2 в степень 4.

Решение

Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3272

Решение

Данную запись можно переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π.

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

Общая информация о золотистом стафилококке

Что это? Бактерия, относящаяся к классу анаэробных, то есть, способных жить без воздуха, неподвижная, Грам-положительная. Существует немало типов стафилококка, но именно золотистый наиболее опасный. Назвали его так не из-за цвета. Ауреус – потому что при посеве в питательную среду колония бактерий дает желто-золотистое окрашивание.

Сразу можно подумать, что микроорганизм редко встречается, но на самом деле, его можно обнаружить везде. Бактерия живет на коже и слизистых человека, прекрасно себя чувствует в окружающей среде: на мебели, игрушках, посуде, деньгах.

Это объясняется высокой устойчивостью микроорганизма к антисептикам, моющим средства, даже кипячению (гибнет только через 10 минут), замораживанию. Не боится стафилококк и спирта, перекиси водорода. Единственное из доступных средств, которое может убить бактерию – обычная «Зеленка».

Впрочем, несмотря на распространенность, этот микроорганизм вызывает заболевания редко, даже живя на теле человека. Для того чтобы развилось воспаление, необходимо снижение иммунитета. Только в этом случае бактерии начнут активную деятельность и вызовут самые разные болезни кожи и слизистых.

Опасность золотистого стафилококка в том, что он устойчив к пенициллиновым антибиотикам за счет выработки лидазы и пенициллиназы – ферментов, разрушающих белки. Эти же вещества расплавляют кожу и слизистые, помогая бактериям проникнуть в организм.

Кроме того, стафилококк вырабатывает эндотоксин, вызывающий у человека интоксикацию, пищевое отравление и инфекционно-токсический шок – опасное состояние, которое крайне сложно поддается лечению.

Стоит прибавить к этому отсутствие постоянного иммунитета к таким бактериям. То есть, переболев инфекцией, человек все так же рискует заболеть вновь.

Подобрать лекарства от паразитов

Этот сервис — небольшой помощник в поиске лекарств от паразитов. Чтобы начать им пользоваться, выберите вид паразита. Если вы не знаете, каким паразитом заражены – вам поможет этот определитель паразитов по симптомам.

Норма показателей золотистого стафилококка

Как уже было сказано выше, бактерия есть везде. Но если был обнаружен стафилококк, это еще не повод для паники, есть определенные нормы содержания его на коже, слизистых, предметах.

Многие начинают переживать, получив результаты анализа: стафилококк золотистый 10 в 4, или, к примеру, золотистый стафилококк 10 в 3.

Чтобы разобраться, нужно понимать принципы определения количества микроорганизмов в биоматериале.

Существует 4 степени роста бактерий:

  1. – слабый рост;
  2. – рост до 10 колоний одного вида;
  3. – рост от 10 до 100 колоний;
  4. – рост больше 100 колоний;

Понятно, что чем больше степень, тем выше количество бактерий, соответственно, активнее патологический процесс. Первые две степени говорят о присутствии бактерии в биоматериале, третья – о том, что началась болезнь, стафилококк 4 степени – это уже выраженная патология.

Как расшифровать данные посева? Для каждого органа есть свои нормы. Так, золотистый стафилококк 10 в 6 степени – верхняя граница нормы. Обнаруживаемый микроорганизм в носу, зеве или горле, посевах кала пока еще не несет опасности.

Конечно же, чем меньше цифра, тем лучше, но если обнаруживается стафилококк 10 в 3 степени, это вариант нормы.

Пройти тест на наличие глистов

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=.

Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=72·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=

Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2= , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Определение 1

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 5, (a+1), 3+52−3,2. И степени с целыми отрицательными степенями: (,5)2+(,5)-22.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Как возвести число в отрицательную степень

Запомните!

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в
    числителе) и с
    исходным числом в степени внизу;
  • заменить отрицательную степень на
    положительную;
  • возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a−n =

1
an

,где ( принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

Запомните!

Любое число в нулевой степени — единица.

,где

Примеры возведения в нулевую степень.

Как найти в минус степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему «» в минус первой степени равно
«».

1
10

отрицательную степень

Возведем «» в «» степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

По такому же принципу можно найти «» в минус второй, третьей и т.д.

Запомните!

Для упрощения перевода «» в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:

«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один».

Проверим правило выше для «».

Т.к. у нас степень «», значит, будет всего один ноль (положительное
значение степени «». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним «».

Рассмотрим «».

Т.к. у нас степень «», значит, нулей после запятой не будет (положительное
значение степени «». Сразу после запятой ставим «».

То же самое правило работает и для «». При переводе в десятичную дробь будет
«» нулей и «» в конце.

Как пользоваться таблицей степеней числа два?

Первый столбец — это степень двойки, который одновременно, обозначает число бит, которое представляет число.

Второй столбец — значение двойки в соответствующей степени (n)

Пример нахождения степени числа 2. Находим в первом столбце число 7. Смотрим по строке вправо и находим значение два в седьмой степени (27) — это 128

Третий столбец — максимальное число, которое можно представить с помощью заданного числа бит (в первом столбце). 

Пример определения максимального целого числа без знака. Если использовать данные из предыдущего примера, мы знаем, что 27 = 128. Это верно, если мы хотим понять, какое количество чисел, можно представить с помощью семи бит. Но, поскольку первое число — это ноль, то максимальное число, которое можно представить с помощью семи бит 128 — 1 = 127 . Это и есть значение третьего столбца.

Степень двойки (n) Значение степени двойки 2n Максимальное число без знака,
записанное с помощью n бит

Максимальное число со знаком, 

записанное с помощью n бит

1
1 2 1
2 4 3 1
3 8 7 3
4 16 15 7
5 32 31 15
6 64 63 31
7 128 127 63
8 256 255 127
9 512 511 255
10 1 024 1 023 511
11 2 048 2 047 1023
12 40 96 4 095 2047
13 8 192 8 191 4095
14 16 384 16 383 8191
15 32 768 32 767 16383
16 65 536 65 535 32767
17 131 072 131 071 65 535
18 262 144 262 143 131 071
19 524 288 524 287 262 143
20 1 048 576 1 048 575 524 287
21 2 097 152 2 097 151 1 048 575
22 4 194 304 4 194 303 2 097 151
23 8 388 608 8 388 607 4 194 303
24 16 777 216 16 777 215 8 388 607
25 33 554 432 33 554 431 16 777 215
26 67 108 864 67 108 863 33 554 431
27 134 217 728 134 217 727 67 108 863
28 268 435 456 268 435 455 134 217 727
29 536 870 912 536 870 911 268 435 455
30 1 073 741 824 1 073 741 823 536 870 911
31 2 147 483 648 2 147 483 647 1 073 741 823
32 4 294 967 296 4 294 967 295 2 147 483 647

Необходимо принять во внимание, что не все числа в компьютере представлены таким образом. Существуют и другие способы представления данных

Например, если мы хотим записывать не только положительные, но и отрицательные числа, то нам потребуется еще один бит для хранения значения «плюс/минус». Таким образом, количество бит, предназначенных для хранения чисел у нас уменьшилось на один. Какое максимальное число может быть записано в виде целого числа со знаком можно посмотреть в четвертом столбце.

Для этого же самого примера ( 27) семью битами можно записать максимум число +63, поскольку один бит занят знаком «плюс». Но мы можем хранить и число «-63», что было бы невозможно, если бы все биты были бы зарезервированы под хранение числа.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим определение степени числа с натуральным показателем. Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для действительного числа a, которое будем называть основанием степени, и натурального числа n, которое будем называть показателем степени. Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n – это выражение вида an, значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, .В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a, то есть, a1=a.

Из данного определения понятно, что с помощью степени с натуральным показателем можно кратко записывать произведения нескольких одинаковых множителей. Например, 8·8·8·8 можно записать как степень 84. Это аналогично тому, как с помощью произведения записывается сумма одинаковых слагаемых, к примеру, 8+8+8+8=8·4 (смотрите статью общее представление об умножении натуральных чисел).

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи an таков: «a в степени n». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n-ой степени» и «n-ая степень числа a». Для примера возьмем степень 812, это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 72 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 53 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями. Начнем со степени 57, здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: десятичная дробь 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32)9.

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках

Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2)3 и −23. Выражение (−2)3 – это степень отрицательного числа −2 с натуральным показателем 3, а выражение −23 (его можно записать как −(23)) соответствует числу, противоположному значению степени 23.

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n. При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 49. А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^»: 14^(21), (−2,1)^(155). В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида an.

Данное выше определение позволяет находить значение степени с натуральным показателем. Для этого нужно вычислить произведение n одинаковых множителей, равных a. Эта тема заслуживает детального рассмотрения в отдельной статье – смотрите возведение в степень с натуральным показателем.

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к понятию корня из числа.

Также стоит изучить свойства степени с натуральным показателем, которые вытекают из данного определения степени и свойств умножения.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Пример 2

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Пример 3

Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений. 

Возведение в степень: определение

Возведение числа в натуральную степень — это умножение его на само себя определенное количество раз. Это такая же операция в алгебре, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Если определенное число нужно умножить на себя несколько раз, это значит, что его необходимо возвести в соответствующую степень. Например, если четыре нужно умножить само на себя три раза, это равно тому, что четыре следует возвести в третью степень. Закодировать это выражение можно следующей арифметической записью:

43, где 4 — это основание, а 3 — показатель. Также 43 = 4·4·4 = 64

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Основные правила выполнения данных вычислений:

  • итог возведения отрицательного основания в четную степень — положительный;
  • итог возведения отрицательного основания в нечетную — отрицательный;
  • итог возведения положительного основания в любую — положительный;
  • любое основание с показателем один равно себе;
  • ноль при любом возведении в результате дает ноль;
  • единица с любым показателем равна единице;
  • любое основание с показателем ноль равно единице.

Таблица представляет собой ряд чисел, возведенных в определенные степени.

Инструкция по функциям инженерного калькулятора

Для понимания возможностей программы мы даем вам краткую инструкцию, более подробно смотрите в примерах вычислений онлайн. Принцип работы с научным калькулятором такой: вводится число, с которым будет производиться вычисление, затем нажимается кнопка функции или операции, потом, если требуется, то еще цифра, например, степень, в конце — знак равенства.

  • – обратная функция для sin, cos, tan, переключает интерфейс на другие функции
  • – натуральный логарифм по основанию «e»
  • и — вводит скобки
  • – отображает целую часть десятичного числа
  • — гиперболический синус
  • – синус заданного угла
  • – возведение в квадрат (формула x^2)
  • — вычисляет факториал введенного значения — произведение n последовательных чисел, начиная с единицы до самого введенного числа, например 4!=1*2*3*4, то есть 24
  • – переводит из десятичного вида в формат в градусы, минуты, секунды.
  • — гиперболический косинус
  • – косинус угла
  • – возведение икса в степ. игрик (формула x^y)
  • – извлечение корня в степени y из икс
  • – число Пи, выдает значение Pi для расчетов
  • — гиперболический тангенс
  • – тангенс угла онлайн, tg
  • — помогает возвести в степень 3, в куб (формула x^3)
  • — извлечь корень кубический
  • — переключает ввод чисел в экспоненциальном представлении и обратно
  • — позволяет вводить данные в экспоненциальном представлении.
  • — позволяет нам вычислить остаток от деления одного числа на другое
  • – рассчитывает десятичный логарифм
  • – возведение десяти в произвольную степень
  • [1/X] — подсчитывает обратную величину
  • – Возведение числа Эйлера в степень
  • – отсекает целую часть, оставляет дробную
  • – обратный гиперболический синус
  • – арксинус или обратный синус, arcsin или 1/sin
  • – перевод угла в градусах, минутах и секундах в десятичные доли градуса, подробнее
  • — обратный гиперболический косинус
  • – аркосинус или обрат. косинус arccos или 1/cos
  • – рассчитывает число Пи, помноженное на два
  • – обрат. гиперболический тангенс
  • – арктангенс или обратный тангенс, arctg

Как пользоваться MR MC M+ M- MS

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны ) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

Определение 2

1. am·an=am+n 

2. aman=am−n

3. (a·b)n=an·bn

4. (ab)n=anbn

5. (am)n=am·n 

6. an<bn и a−n>b−n при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b 

7. am<an, при условии целых m и n, m>n и <a<1, при a>1   am>an.

Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q)

Условия: p= или натуральное число; q– аналогично.

Если значения p и q больше , то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=, то:

(a)q=1q=1 a·q=a=1

Следовательно, (a)q=a·q

Для q= все точно так же:

(ap)=1 ap·=a=1

Итог: (ap)=ap·.

Если же оба показателя нулевые, то (a)=1=1 и a·=a=1, значит, (a)=a·.

Далее разберем равенство (a−p)q=a(−p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq.

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

1apq=1qapq

Если 1p=1·1·…·1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q

Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(−p)·q.

Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q).

И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q)

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a−n>b−n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b.

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

1an>1bn

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

1an-1bn=bn-anan·bn

Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: — an<bn, в итоге: bn−an>.

an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда a−n>b−n, что нам и нужно было доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

История

Микроорганизмы данного рода были открыты в середине 20-го века при изучении бактерий, обитающих в мочеполовых путях. Тогда же было выдвинуто предположение о их возможном участии в развитии воспаления данной области в некоторых случаях. Затем в течении нескольких десятилетий о них ничего не было слышно. Это связано с тем, что в обладая маленькими размерами и неспособностью роста на питательных средах, отсутствовала возможность их диагностики в практической медицине. И лишь с приходом метода диагностики ПЦР (полимеразная цепная реакция) в 80-е годы за рубежом начали их выявлять и лечить. Это было удобно докторам, так как не понимая иной раз истинной причины воспаления в мочеполовых органах, уреаплазмы выявлялись практически всегда и были основанием для назначения антибактериальной терапии.

Однако со временем их частое выявление и повторное нахождение в контрольных анализах после лечения заставило задуматься ученых о истинной патогенности данных микроорагнизмов. Статьи того времени, говорящие о возможной причастности к бесплодию, невынашиванию беременности, патологии плода, , воспалению в половых органах не имели научной обоснованности и статистической доказанности. Примерно с 2000г в большинстве прогрессивных странах Европы и Северной Америки не проводят обследование и лечение уреаплазм, считая их нормальной эндогенной (внутренней) флорой, которая зачастую выявляется даже у детей.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=

х= не является корнем этого уравнения: A·4+B·3+C·2+B·+A=A≠. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=Ax2+1×2+Bx+1x+C=

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

Ax2+1×2+Bx+1x+C=A(y2-2)+By+C=Ay2+By+C-2A=

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=

Проведем группировку:

2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=2y2-2+23+2y+4+6=2y2+23+2y+6=

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2×2+2x+2=D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.